Численное исследование метода моделирования

Большие системы
Математическое описание большой системы 
Метрический анализ

Задачи численного исследования 
Равномерные приближения
Интерполяционные приближения

Метрический анализ

            После того как определен общий подход к построению аналитического вида приближенной зависимости, необходимо определить конкретный аналитический вид этой зависимости и исследовать его возможности для моделирования больших систем. Для решения этой задачи был разработан метрический анализ в полуупорядоченных пространствах.

Разработка метрического анализа является попыткой решать многомерные задачи как одномерные.   Трудность решения многомерных задач обусловлена наличием многих, а не одной, как в одномерных задачах, переменных, что ведет к усложнению формул, увеличивает трудности их анализа и объем вычислительной работы при численной реализации этих формул по сравнению с одномерным случаем. 

Основную идею метрического анализа кратко и нестрого можно изложить следующим образом. 

В основе метрического анализа лежит тот тривиальный факт, что одномерная прямая является одномерной прямой в любом многомерном пространстве, где прямая находится. Многомерная задача рассматриваемая на этой прямой будет выглядеть как одномерная. Если же вместо прямой взять линию не очень отличающуюся от прямой, то полученная многомерная задача по своим свойствам будет не очень отличаться от одномерной, будет "примерно" одномерной. Здесь предполагается непрерывная зависимость свойств задачи от той области пространства, где эта задача рассматривается. 

Однако, как только мы "покидаем" одномерную прямую в задаче сразу появляется многомерность. И хотя такая многомерная задача будет близка по свойствам к одномерной мы сразу же получаем все трудности многомерной задачи.

Одномерная прямая характеризуется двумя параметрами.
1. Расстоянием от выбранной точки до некоторой фиксированной точки, которая называется началом координат.
2. Направлением - положительным или отрицательным, -на одномерной прямой.
Для того, чтобы решать многомерную задачу как одномерную необходимо рассматривать свойства многомерной задачи в зависимости от некоторого расстояния и некоторого направления.

Поэтому, многомерную задачу будем решать следующим образом.
1. Будем рассматривать свойства задачи в зависимости не от n координат выбранной точки многомерного пространства, а от расстояния от этой точки до некоторой фиксированной точки с. Этой точкой может быть начало координат многомерного пространства или какая-нибудь другая точка, выбранная исходя из условий задачи.
2. В качестве характеристики направления в многомерном пространстве будем использовать отношение порядка в многомерном пространстве. Конкретный вид отношения порядка выбирается исходя из условий постановки задачи. 

При таком подходе многомерная задача превращается в "примерно" одномерную.

В основу исследования были положены соответствующе положения и теоремы одномерного анализа, которые затем обобщались для метрических приближений. Иногда эти обобщения были простые и очевидные, иногда они были достаточно не тривиальные.  Тем самым была подтверждена гипотеза о возможности решения многомерных задач как одномерных. 

Для обеспечения максимальной общности и приложимости полученных результатов решались задачи не приближения функций, а приближения операторов. Аргументом операторов был не набор скаляров x_{1, …,} x_n,  , а вектор x из произвольного векторного пространства X, xÎ X, значением операторов был не скаляр, а вектор y из конечномерного векторного пространства Y, yÎ Y размерности t.

Рассматривались две конкретные задачи построения аналитического вида приближенной зависимости.
1. Интерполяционное приближение.
2. Равномерного приближения.   

Был построен конкретный аналитический вид зависимости – операторные метрические многочлены для равномерного приближения и интерполяционные метрические многочлены Ньютона и Лагранжа для интерполяционного приближения. Был доказан ряд теорем о свойствах построенных метрических приближений.

Введено понятие метрической производной и метрического интеграла и доказан ряд теорем об их свойствах. С их помощью доказаны теоремы о сходимости равномерного и интерполяционного метрических приближений для операторов целого типа, которые являются операторными аналогами функций целого типа.

Были проведены численные исследования метрических приближений и показана их высокая эффективность. 

В данной работе были рассмотрены лишь некоторые достаточно простые вопросы метрического анализа непосредственно связанные с поставленной задачей математического моделирования больших систем. Многие вопросы уже изученные в одномерном анализе остались пока без рассмотрения. 

Полное изложение результатов исследования метрических приближений представлено в работе "Метрическое приближение операторов".

Метрическое приближение операторов

СОДЕРЖАНИЕ

1	Введение	4
1.1	Трудности приближенного моделирования	4
1.2	Задача построения аналитического вида экспериментальной зависимости и теория приближений	7
1.2.1	Общий аналитический вид приближенной зависимости	7
1.2.2	Аналитический вид интерполяционного приближения	11
1.2.3	Аналитический вид равномерного приближения	16
1.2.4	Задача построения аналитического вида приближенной зависимости	19
2.	Метрический анализ в полуупорядоченных пространствах	20
2.1	Метрическая разделенная разность оператора	20
2.2	Метрическая производная оператора	27
2.3	Метрический интеграл оператора	46
2.4	Выражение метрической разделенной разности оператора через метрическую производную и метрический интеграл оператора	55
3	Интерполяционные метрические приближения операторов в полуупорядоченных пространствах	61
3.1	Метрическое интерполирование операторов	61
3.2	Сходимость интерполяционных метрических приближений операторов целого типа	76
4	Равномерное метрическое приближения операторов в полуупорядоченных пространствах	86
4.1	Базисные метрические функционалы	86
4.2	Линейная зависимость базисных метрических функционалов	90
4.3	Существование операторного метрического многочлена наилучшего приближения	100
4.4	Сходимость равномерных метрических приближений операторов целого типа	108
5.	Численное исследование метрических приближений функций многих переменных	128
5.1	Задача численного исследования	128
5.2	Интерполяционные метрические приближения функций многих переменных	130
5.3	Равномерные метрические приближения функций многих переменных	132
5.4	Сходимость метрических приближений функций многих переменных при увеличении числа переменных	135
6.	Заключение	137
7.	Литература	139